Dva su računa koja mobilni robot radi neprekidno: iz brzina kotača zaključuje kamo ide, i iz onoga kamo treba ići računa brzine kotača. Ova jedinica izvodi oba za diferencijalni pogon i pokazuje gdje se svaki od njih lomi.
Da bi se o gibanju uopće moglo računati, treba dogovoriti kako se položaj zapisuje. Za vozilo koje se giba po ravnoj podlozi dovoljna su tri broja: dvije koordinate mjesta i jedan kut.
Postavi se nepomičan koordinatni sustav prostora — ishodište u kutu prostorije, os x uzduž jednoga zida, os y uzduž drugoga. Uz njega ide i koordinatni sustav vozila, koji se giba s vozilom: ishodište mu je u sredini između pogonskih kotača, os x gleda naprijed, os y ulijevo.
q = ( x, y, θ )
Par x i y govori gdje je ishodište vozila u prostoru, a kut θ za koliko je vozilo zakrenuto u odnosu na os x prostora. Taj se trojac naziva konfiguracija vozila, a sve njegove moguće vrijednosti prostor konfiguracija.
Zašto baš tri broja, a ne šest kao za tijelo u prostoru? Zato što vozilo na podlozi ne može ni gore ni dolje, ni se nagnuti — podloga mu tri stupnja slobode oduzima. Kod letjelice ih je šest, kod nepomične ruke ih ima onoliko koliko ima zglobova.
Povuci klizače i gledaj kako se mijenja trojac.
Vozilo na standardnim kotačima ne može se pomaknuti postrance. To se u kinematici zapisuje kao ograničenje, i ono je razlog zašto vozilo s tri stupnja slobode položaja ima samo dva upravljana ulaza.
− ẋ · sin θ + ẏ · cos θ = 0
Izraz kaže da je brzina u smjeru osi kotača jednaka nuli: vozilo se u svakome trenutku giba samo naprijed ili natrag, u smjeru u koji je okrenuto. Ne kaže da vozilo ne može doći na položaj lijevo od sebe — kaže da onamo ne može doći izravno.
Razlika je bitna i ilustrira je svako parkiranje automobila. Auto ne može bočno, ali može doći na parkirno mjesto koje mu je uz bok — uz nekoliko naprijed-natrag poteza. Ograničenje ne smanjuje dosežni prostor, nego put kojim se do njega dolazi.
Takvo se ograničenje naziva neholonomnim. Naziv znači da se ono ne može svesti na ograničenje samih položaja — odnosi se na brzine, ne na mjesta do kojih se smije doći. Vozilo koje ima takvo ograničenje je neholonomno; vozilo koje ga nema, poput svesmjernoga, je holonomno.
Ako vozilo iz mirovanja može krenuti u bilo koji smjer u ravnini, holonomno je. Ako prvo mora zakrenuti pa tek onda krenuti, neholonomno je. Diferencijalni pogon, tricikl i Ackermannov pogon su neholonomni; svesmjerni pogon sa švedskim kotačima je holonoman.
Sada se može izvesti prvi od dvaju računa. Zadano je: brzina lijevoga kotača vL, brzina desnoga vD i razmak kotača b. Traži se brzina vozila v i njegova kutna brzina ω.
Izvod je kratak. Ishodište vozila leži točno po sredini između kotača, pa je njegova brzina srednja vrijednost brzina kotača. Kutna brzina slijedi iz toga da lijevi i desni kotač u istome vremenu prijeđu različite putove: razlika putova podijeljena razmakom daje zakret.
v = ( vD + vL ) / 2
ω = ( vD − vL ) / b
Brzina v je u metrima u sekundi, kutna brzina ω u radijanima u sekundi, a razmak kotača b u metrima. Predznak kutne brzine: pozitivna znači zakret ulijevo, uz dogovor da os y gleda ulijevo.
Ako se brzine kotača ne mjere izravno nego preko enkodera, prethodi im još jedan korak: iz broja koraka enkodera dobiva se zakret kotača, a iz zakreta i polumjera put. Za kotač polumjera r koji se vrti kutnom brzinom φ̇ vrijedi vkotača = r · φ̇.
Da bi se iz brzina dobio i položaj, treba ih zbrajati kroz vrijeme. To se radi u malim koracima, svakih nekoliko milisekundi:
xk+1 = xk + v · cos θk · Δt
yk+1 = yk + v · sin θk · Δt
θk+1 = θk + ω · Δt
Taj se postupak zove odometrija i temelj je procjene položaja u svakome mobilnom robotu. Njegova slaba točka — što se pogreška u svakome koraku zbraja — obrađuje se u modulu o lokalizaciji.
Povuci brzine kotača i gledaj putanju kroz tri sekunde.
Tri slučaja koja se čitaju izravno iz izraza. Kad su brzine jednake, razlika je nula, kutna brzina nula i vozilo ide ravno. Kad su suprotne po smjeru, a jednake po iznosu, zbroj je nula, brzina vozila nula, a kutna brzina najveća — vozilo se okreće u mjestu. Kad jedan kotač stoji, vozilo se okreće oko toga kotača, s polumjerom zavoja jednakim polovici razmaka.
Upravljački sustav ne zadaje brzine kotača nego gibanje vozila: vozi 0,5 m/s i skreći 20 stupnjeva u sekundi. Netko to mora pretvoriti u dvije brzine kotača. Taj se korak zove obratna kinematika, i kod diferencijalnoga pogona dobiva se preokretanjem istih dvaju izraza.
vD = v + ω · b / 2
vL = v − ω · b / 2
Izvod: zbroj dvaju izraza daje vD + vL = 2v, a razlika vD − vL = ωb. Rješavanjem toga para po vD i vL dobivaju se gornji izrazi.
Kod diferencijalnoga pogona obratna kinematika ima točno jedno rješenje, i uvijek postoji. To je iznimka, ne pravilo: kod robotskih ruku obratna kinematika često ima više rješenja ili nijedno, pa se rješava numerički. Ovdje je dovoljan zbroj i umnožak.
Zadaj gibanje vozila; brzine kotača se računaju.
Prikaz uvodi i jednu praktičnu stvar koja se u udžbeničkome izvodu ne vidi: svaki motor ima gornju granicu. Zada li se brzina i zakret tako da izračunata brzina kotača prijeđe tu granicu, naredba je neizvediva. Vozilo tada ne stane — ono izvede nešto drugo, najčešće tako da proporcionalno smanji oba iznosa i zadrži omjer, čime se putanja sačuva, a brzina smanji.
Izravna kinematika ulazi u procjenu položaja: iz izmjerenih okretaja kotača robot računa gdje je. Obratna ulazi u izvođenje naredbe: iz željenoga gibanja računa što poslati motorima. Prva se koristi u modulu o lokalizaciji, druga u modulu o slijeđenju putanje. Isti par izraza, dva smjera.
Diferencijalni pogon nije jedina izvedba, a njegovi izrazi ne vrijede za druge. Evo kako izgledaju kinematički modeli ostalih rasporeda iz jedinice 2.3.
| Konfiguracija | Upravljani ulazi | Izravna kinematika | Osobitost |
|---|---|---|---|
| Diferencijalni | vL, vD | v = (vD + vL)/2, ω = (vD − vL)/b | okret u mjestu; najjednostavniji model |
| Tricikl | brzina prednjega kotača vp, kut zakreta α | v = vp · cos α, ω = vp · sin α / L | pri vp = 0 zakret kotača ne pomiče vozilo |
| Ackermannov | brzina v, kut zakreta α | ω = v · tg α / L | L je razmak osovina; prednji kotači zakreću se za različite kutove |
| Sinkroni | brzina v, smjer kotača β | ẋ = v · cos β, ẏ = v · sin β, θ̇ = 0 | tijelo zadržava orijentaciju; zakret je zaseban mehanizam |
| Svesmjerni | brzine triju ili četiriju kotača | ẋ, ẏ i ω neovisno, iz zbroja doprinosa svih kotača | holonoman: sva tri stupnja slobode upravljana su izravno |
Uočljivo je da samo posljednji redak ima tri neovisna izlaza. Kod svih ostalih iz dvaju ulaza izlaze dvije veličine, a treća — bočni pomak — ostaje nedostupna. Upravo to je ograničenje iz drugoga odjeljka, samo napisano drukčije.
Svi izrazi u ovoj jedinici počivaju na jednoj pretpostavci: kotač se kotrlja bez klizanja i proklizavanja. Ta pretpostavka u stvarnosti nikad nije potpuno istinita, a katkad je posve netočna. Vrijedi znati gdje.
Zajednički im je učinak isti: izračunati položaj polako se odvaja od stvarnoga, i to tim brže što se vozilo više zakreće. Nijedno mjerenje enkodera to ne može ispraviti, jer enkoder mjeri zakret kotača, a ne prijeđeni put po podlozi. Ispravlja se tek usporedbom s nečim vanjskim — karti, oznakom ili obrisom prostora — što je tema modula 5.
Položaj vozila na podlozi opisuju tri broja: x, y i θ. Standardni kotač unosi neholonomno ograničenje — brzina u smjeru osi kotača je nula — pa vozilo od tri stupnja slobode upravlja samo dvama. Izravna kinematika diferencijalnoga pogona daje brzinu kao polovicu zbroja i kutnu brzinu kao razliku brzina kotača podijeljenu njihovim razmakom; obratna se dobiva preokretanjem istoga para i uvijek ima točno jedno rješenje. Zbrajanjem kroz vrijeme iz brzina se dobiva položaj, i to je odometrija. Sve vrijedi dok se kotači kotrljaju bez proklizavanja.
Sljedeća jedinica pita koliko se slobodno vozilo s tim ograničenjima uopće može gibati.
Odgovor se zaključava nakon prvoga klika, uz objašnjenje zašto je točan.