Jednadžba stanja i promjene stanja idealnih plinova

Jednadžba stanja idealnog plina

Stanje određene količine plina potpuno je opisano trima veličinama: tlakom, obujmom i temperaturom. One nisu neovisne. Veza među njima naziva se jednadžba stanja, a za idealni plin, kojim se u pneumatici s dovoljnom točnošću može smatrati zrak, glasi:

p · V = m · R · T

Ovdje je p apsolutni tlak u Pa, V obujam u m³, m masa plina u kg, T termodinamička temperatura u K, a R specifična plinska konstanta, koja ovisi o vrsti plina. Za suhi zrak R = 287 J/(kg·K). Podijeli li se jednadžba masom, dobiva se oblik sa specifičnim volumenom v = V / m, koji vrijedi za svaki kilogram plina:

p · v = R · T    odnosno    ρ = p / (R · T)

Jednadžba se koristi za izračun bilo koje veličine kad su poznate ostale. Primjer: koliko zraka sadrži spremnik kompresora naprave SL-3 (270 l) pri isklopnom tlaku od 8 bar i temperaturi 20 °C? Apsolutni tlak je 9,013 bar, pa je

m = p · V / (R · T) = 901 300 Pa · 0,27 m³ / (287 J/(kg·K) · 293,15 K) ≈ 2,89 kg

Pri uklopnom tlaku od 6,5 bar u spremniku ostaje 2,41 kg. Između isklopa i uklopa kompresora iz spremnika dakle izlazi oko 0,48 kg zraka, što odgovara približno 400 litara slobodnog zraka. Taj broj bit će potreban u jedinici o kompresorima.

Promjene stanja zatvorene količine plina

Ako masa plina ostaje ista (zatvoreni spremnik, komora cilindra sa zatvorenim ventilima), jednadžba stanja može se napisati za početno stanje 1 i konačno stanje 2. Kako je m · R isti u oba stanja, vrijedi opća jednadžba stanja:

p₁ · V₁ / T₁ = p₂ · V₂ / T₂

Plin može iz stanja 1 u stanje 2 prijeći na beskonačno mnogo načina. U tehnici se promatra nekoliko idealiziranih promjena kod kojih jedna veličina ostaje stalna ili je izmjena topline s okolinom propisana. Stvarni procesi nalaze se negdje između njih, ali idealizirane promjene daju granice unutar kojih se stvarni proces mora nalaziti.

Izohora i izobara

Izohorna promjena odvija se pri stalnom obujmu. Tlak se tada mijenja razmjerno termodinamičkoj temperaturi (Gay-Lussacov zakon):

p₁ / T₁ = p₂ / T₂

Spremnik kompresora napunjen na 8 bar pri 20 °C, ostavljen ljeti uz sunčan zid, može se zagrijati na 50 °C. Apsolutni tlak tada naraste na 9,013 · 323,15 / 293,15 ≈ 9,94 bar, odnosno pretlak na oko 8,9 bar. Porast od gotovo 1 bar bez ikakvog rada kompresora objašnjava zašto spremnik mora imati sigurnosni ventil i zašto manometar na hladnom spremniku ujutro pokazuje manje nego večer prije. Pri izohornoj promjeni plin ne obavlja rad, jer se obujam ne mijenja: sva dovedena toplina povećava njegovu unutarnju energiju.

Izobarna promjena odvija se pri stalnom tlaku. Obujam se mijenja razmjerno termodinamičkoj temperaturi:

V₁ / T₁ = V₂ / T₂    W = p · (V₂ − V₁)

U pneumatici se izobarom opisuje izvlačenje klipnjače kad je komora cilindra spojena na mrežu stalnog tlaka: zrak ulazi, obujam komore raste, a tlak ostaje jednak tlaku napajanja. Rad na klipnjači jednak je umnošku pretlaka i promjene obujma (s druge strane klipa djeluje atmosferski tlak). Za cilindar B naprave SL-3 pri 6 bar to je 600 000 Pa · 0,00196 m³ ≈ 118 J po izvlačenju, bez gubitaka trenja.

Izoterma: Boyle–Mariotteov zakon

Izotermna promjena odvija se pri stalnoj temperaturi. Da bi temperatura ostala stalna, toplina koja nastaje pri stlačivanju mora se neprekidno odvoditi u okolinu, a pri širenju dovoditi. To je moguće samo ako je promjena dovoljno spora ili je izmjena topline vrlo dobra. Za izotermu vrijedi Boyle–Mariotteov zakon:

p₁ · V₁ = p₂ · V₂ = konst.

Umnožak apsolutnog tlaka i obujma ostaje stalan: ako se obujam prepolovi, tlak se udvostruči. Upravo ovaj zakon stoji iza omjera kompresije koji se koristi za potrošnju zraka. Litra zraka pri 6 bar pretlaka (7,013 bar apsolutno) pri istoj temperaturi zauzme u okolini 7,013 / 1,013 = 6,923 litre.

Primjer: komora na strani klipa cilindra B (obujam 196 cm³ pri punom hodu) napunjena je na 6 bar i zatim zatvorena. Vanjska sila sporo potisne klip do polovice hoda. Ako se temperatura ne mijenja, apsolutni tlak naraste s 7,013 na 14,03 bar, odnosno pretlak na oko 13,0 bar. Rad potreban za takvo stlačivanje iznosi

W = p₁ · V₁ · ln(V₁ / V₂) = 701 300 Pa · 0,000196 m³ · ln 2 ≈ 95 J

Zrak zatvoren u komori ponaša se kao zračna opruga: što se više stlači, to se jače opire. Na tom se načelu zasnivaju zračni jastuci vozila, pneumatski amortizeri i prigušenje u krajnjem položaju cilindra.

Izentropa i politropa

Kad se plin stlačuje ili širi naglo, nema vremena za izmjenu topline s okolinom. Sav rad utrošen na stlačivanje ostaje u plinu i povisuje mu temperaturu. Takva promjena bez izmjene topline naziva se adijabatska, a ako se odvija i bez unutarnjeg trenja (povrativo), izentropska. Za nju vrijedi:

p · V^κ = konst.    T₂ / T₁ = (V₁ / V₂)^κ−1 = (p₂ / p₁)^(κ−1)/κ

Eksponent κ (kapa) je omjer specifičnih toplinskih kapaciteta pri stalnom tlaku i stalnom obujmu, κ = c_p / c_v. Za zrak c_p ≈ 1005 J/(kg·K), c_v ≈ 718 J/(kg·K), pa je κ = 1,4. Jer je κ veći od 1, tlak pri izentropskom stlačivanju raste brže nego pri izotermnom.

Vratimo se komori cilindra B. Ako se klip do polovice hoda potisne naglo, tlak naraste na 7,013 · 2^1,4 ≈ 18,5 bar apsolutno, dakle na oko 17,5 bar pretlaka, a temperatura s 20 °C na oko 114 °C. Obrnuto, zrak koji se iz 6 bar naglo proširi na atmosferski tlak teorijski bi se ohladio s 20 °C na oko −104 °C. Stvarno hlađenje manje je, jer izmjena topline nikad ne izostane potpuno, ali je dovoljno da se vlaga u ispuhu pneumatskih motora i alata smrzne.

Politropska promjena opisuje stvarne procese, u kojima dio topline prelazi u okolinu. Zakon ima isti oblik, s eksponentom n umjesto κ:

p · Vⁿ = konst.    1 < n < κ

Za stapne kompresore s hlađenim cilindrom n je obično između 1,2 i 1,35. Izoterma (n = 1) i izentropa (n = κ) posebni su slučajevi politrope, pa se jednom formulom mogu obuhvatiti sve promjene. Izohora odgovara n → ∞, a izobara n = 0.

Rad u p–V dijagramu i kompresija u kompresoru

U p–V dijagramu rad ima jednostavno geometrijsko značenje. Rad pri promjeni obujma zatvorenog plina jednak je površini ispod krivulje, između krivulje i osi V. Kod kompresora, u koji zrak neprekidno ulazi i iz njega izlazi, mjerodavan je tehnički rad, koji odgovara površini između krivulje i osi p. On obuhvaća usisavanje, stlačivanje i istiskivanje zraka.

W_t,izot = p₁ · V₁ · ln(p₂ / p₁)    W_t,n = n / (n − 1) · p₁ · V₁ · [(p₂ / p₁)^(n−1)/n − 1]

Za kompresor naprave SL-3, koji tlači okolni zrak na 8 bar pretlaka (omjer apsolutnih tlakova 9,013 / 1,013 = 8,90), tehnički rad po kubnom metru usisanog zraka iznosi:

Iz tablice slijede tri važne činjenice. Prvo, izotermna kompresija traži najmanje rada, pa se kompresori hlade što bolje: rebrima, vodom ili ubrizganim uljem. Drugo, izentropska kompresija u jednom stupnju na 8 bar dala bi temperaturu od oko 274 °C, previsoku za ulje i brtve; zato se klipni kompresori za više tlakove izvode dvostupanjski s međuhladnjakom, a vijčani kompresori hlade ubrizgavanjem ulja, pa zrak izlazi s oko 80 do 90 °C. Treće, nazivna snaga motora kompresora naprave SL-3 (5,5 kW) veća je od izentropske (4,1 kW); razlika su gubici trenja, propuštanja i pogona te stupanj djelovanja elektromotora. Omjer 4,1 / 5,5 ≈ 0,75 je gruba procjena ukupnog izentropskog stupnja djelovanja takvog kompresora.

Računski prikaz: kompresija zatvorenog zraka

Računski prikaz računa konačno stanje zraka zatvorenog u komori cilindra ili kompresora kad mu se obujam smanji zadani broj puta. Za izotermu vrijedi p₂ = p₁ · ε i T₂ = T₁, a za politropu i izentropu p₂ = p₁ · εⁿ i T₂ = T₁ · εⁿ⁻¹, gdje je ε = V₁ / V₂ omjer kompresije. Rad stlačivanja zatvorenog plina iznosi W = p₁V₁ · ln ε za izotermu, odnosno W = (p₂V₂ − p₁V₁) / (n − 1) za politropu. Eksponent n koristi se samo za politropu.

Za zadane vrijednosti (komora strane klipa cilindra B, 196 cm³ pri 6 bar i 20 °C, stlačena na polovicu obujma) izentropska promjena daje oko 17,5 bar pretlaka i 114 °C, uz rad od oko 110 J. Odaberete li izotermu, tlak naraste samo na 13,0 bar, a rad iznosi 95 J; politropa s n = 1,3 daje vrijednosti između tih dviju granica, 16,3 bar i 88 °C. Sila kojom se zatvoreni zrak pri 17,5 bar opire klipu promjera 50 mm iznosi više od 3,4 kN, gotovo trostruko više od sile izvlačenja pri 6 bar. Zato zatvoren zrak u cilindru (npr. kod zaglavljenog ispuha) može izazvati neočekivano velike sile i nagle pokrete.

Ključni pojmovi

Provjeri se

Kratka provjera prije prelaska na sljedeću jedinicu. Odgovor se potvrđuje klikom, a obrazloženje se prikazuje odmah.